（命題） 可算個の有限集合の和は可算である（証明） 可算個の有限集合を A1, A2, ... とし， その和集合を S = ∪i Ai とする． S が有限集合のとき 明らかに可算である． S が無限集合のとき Bi ∩ Bj = ∅ (i ≠ j) となるように 以下の規則で新たな集合Biを…

（命題） 任意の集合 S に対して， |S| < |P(S)|（証明） |S| ≤ |P(S)| であること |S| = |T| となる T ⊆ P(S) が存在することを示す． ここで T = { {x} | x ∈ S } を選べば，明らかに |S| = |T|． |S| ≠ |P(S)| であること 背理法を用いて示す． 一対一対…